電路葉正

『壹』 傅里葉變換如何應用於實際的物理信號

首先，我們從物理系統的特徵信號角度來解釋。我們知道：大自然中很多現象可以抽象成一個線性時不變系統來研究，無論你用微分方程還是傳遞函數或者狀態空間描述。線性時不變系統可以這樣理解：輸入輸出信號滿足線性關系，而且系統參數不隨時間變換。對於大自然界的很多系統，一個正弦曲線信號輸入後，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。也就是說正弦信號是系統的特徵向量！當然，指數信號也是系統的特徵向量，表示能量的衰減或積聚。自然界的衰減或者擴散現象大多是指數形式的，或者既有波動又有指數衰減（復指數形式），因此具有特徵的基函數就由三角函數變成復指數函數。但是，如果輸入是方波、三角波或者其他什麼波形，那輸出就不一定是什麼樣子了。所以，除了指數信號和正弦信號以外的其他波形都不是特徵信號。怎麼理解我所說的特徵向量和特徵信號這個名字呢？其實這來源於線性代數：我們知道矩陣A作用一個特徵向量x可以用數學語言這樣描述：那麼系統作用一個特徵信號用數學語言描述就是。形式結構相同，只是一個是有限長度的向量，另一個是無限長度的信號而已。既然是特徵向量，我們就想能不能用特徵向量來表示自然界的信號和一個物理系統呢？這樣做的好處就是知道輸入，我們就能很簡單那的寫出輸出。我們來看一個實際的例子，擊弦樂器——鋼琴。琴鍵被小錘敲擊後，產生聲音。