電路加初值

A. 什麼是初值

初值問題是指在因變數的某值給出適當個數的附加條件，用來確定微分方程的通解的這類問題。如果在因變數的某值給出適當個數的附加條件，用來確定微分方程的通解，則這類問題稱為初值解。

初值定理是「信號與系統」課程中的知識，對應的有終值定理。就其地位而言，在「信號與系統」中，連續系統的S域分析佔有重要的地位，在微分方程求解、電路分析等領域發揮著關鍵作用。

而S域分析的要點在於掌握拉普拉斯變換及其性質。拉普拉斯變換的重要性質包括：尺度變換、時移、頻移、微分、積分、卷積、初值定理與終值定理，與其他性質相比，初值定理與終值定理是重點和難點。

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注意事項

1、初值定理使用條件是要求連續函數f(t)不含沖擊函數δ(t)及其各階導數，或者象函數F(s)為真分數。當象函數為真分式時，根據初值定理可直接由象函數得出函數的初值。

2、若連續函數f(t)中含有沖擊函數δ(t)及其各階導數時，沖擊函數項對f(t)的拉氏變換從左側趨於0到右側趨於0的變化時會造成影響。

3、利用換路後電路的s域模型和初值定理求初始值，事先不需要考慮電路的電感電流或電容電壓是否發生突變，不管是一階電路還是二階以上的高階電路。

B. 一階動態電路求初始值

1）開關閉合前，電路等效為；

a、權b端是短路的，則 Uab=0，那麼電感支路因為沒有電壓而電流=0；

即：iL(0)=0；

C. 求初始值，穩態值

初始時刻等效電路

求解動態電路的響應時，需要知道響應的初始值y(0)。設電路在t=0時刻換路，稱換路前的瞬間為t=0-，換路後的瞬間為t=0+。我們要求的是y(0+)。一般變數y(0+)取決於電路在t=0+時刻電路的狀態 （uc(0+)和il(0+)）和外加激勵在t=0+時刻的取值。在有限功率的情況下，狀態量不能突變，即

uc(0+)=uc(0-)

il(0+)=il(0-)

具有初始電壓uc(0+)的在t=0+時刻相當於一個電壓源，具有初始電流il(0+)的電感在t=0+時刻相當於一個電流源。把它們分別用電壓源和電流源代替，可以得到t=0+初始時刻等效電路（如下圖），用來計算任意變數的初始值。




例1右圖所示電路在t=0時換路，電容上原來有電壓uc(0-)=4v,求電容電壓和電流在t=0+時初始值。
解 在t=0+時，開關閉合，由電容的換路特性，uc(0+)=uc(0-)=4v,將電容用4v電壓源代替做出t=0+時刻等效電路如圖，由此計算出

i(0+)=(12-4)/1=8a直流穩態等效電路

對於穩定電路，在經過足夠長的時間後，即理論上t→∞時，電路暫態響應消失，只剩下與外加激勵有關的分量。在直流激勵下，電路中各部分電壓和電流不再變化，為一個常量（穩態值），此時


即，電容相當於開路，電感相當於短路。以此為依據，可做出直流激勵下t=∞等效電路（直流穩態等效電路）， 用來計算變數的直流穩態值y(∞)。直流穩態值y(∞)的計算在求變數的初始值，用三要素法分析一階電路時都要用到。


在例1所示電路中，若求t=∞時變數的穩態值，做出t=∞等效電路，求出

uc(∞)=12v, i(∞)=0。初始值和穩態值計算實例

例1 求u(0+)=?


解：假定開關打開前電路已經處於穩態，計算電容電壓


t=0+,2ω支路開路，c代之以4v的電壓源，得到t=0+等效(b)

例1 求il(∞)=?


解：t→∞， 將3h電感代之以短路，得到圖(b)穩態等效電路

D. 動態電路初始值的計算

電路在換路前已處於穩態，穩態時電容C視為開路，電感L視為短路，等效為下方的電路，在這個電路中容易求出Uc(0-)

E. 初始值是電路換路後最初瞬間的數值

初始值是電路在更換完成之後，剛開始運行的標准值。
不是最初運行瞬間的數值。
所以這兩種情況我們需要分別開來，說明不可同樣的來對待。

F. 有關電路換路初始值問題

這個電路的電容電壓會產生突變，因此不能用換路定律來做了。當然關鍵還是專0+後電容電壓。電容電壓突屬變是因為電荷在兩個電容間突然轉移，其他電阻上電流有限，瞬間轉換電荷為0，因此是在兩個電容間直接轉移 。根據電量守恆
C1*U1(0-)+C2*U2(0-)=(C1+C2)*U(0+)
可求出電容電壓初值，其他初值也就定了。